奥数题2

Question

a和b都为正实数，且3a+b=1，求a²+b²的最小值？

正实数=正无理数，正有理数，不等于0

需要用到公式a²+b²=(a+b)²-2ab吗？

Comments

分类请改 去 “其他”，因为 这个不是 中学数学。

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放了那么久还不可以采纳吗

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3a+b=1
⇒a+b=1-2a....(1)
⇒b=1-3a......(2)

a²+b²
=(a+b)²-2ab
带入(1) 和(2):
=(1-2a)²-2a(1-3a)
=1-4a+4a²-2a+6a²
=10a²-6a+1
=10(a²-3a/5+1/10)
=10[a²-3a/5+(3/10)²-(3/10)²+1/10] 【配方法】
=10[(a-3/10)²-9/100+1/10]
=10[(a-3/5)²+1/100]
=10(a-3/5)²+1/10
因为
(a-3/5)²≥ 0 [任意平方数的最小值是0]
所以
10(a-3/5)²≥ 0
以及
10(a-3/5)²+1/10≥ 1/10
∴a²+b²≥ 1/10

Answer 1

其实你没必要说a和b都为正实数，因为任何实数都不能等于虚数。

这题可以用 Cauchy-Schwarz Inequality来解决。

根据公式

(q^2 + k^2)(a^2+b^2) ≥ (qa + kb)^2

在这里q = 3， k = 1

10(a^2+b^2) ≥ (3a + b)^2

10(a^2+b^2) ≥ 1

(a^2+b^2) ≥ 1/10

所以最小值就是1/10

如果你想要知道这个公式的证明，这里又一条简单易懂的视频：https://www.youtube.com/watch?v=mKg_gVagHy8

Comments

补充下，这是华罗庚2017年的吧

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不确定，老师给我一本全部都是练习题的练习书罢了