奥数问题

Question

Count the number of ways to complete cover a 3×8 rectangle using 12 identical dominoes(2×1 tiles) such that no tiles overlapped and all the tiles must be inside the rectangle.

求解释+算法（所提供正确答案：153），谢谢~

Comments

你好！请问诺古牌可以为1*2或2*1吗？

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可以旋转

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你会的话可以帮帮我吗？谢谢你哦（：

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我会做，已经做到答案了，只是要附上解释可能需要一些时间，请耐心等待。

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由于字符最长只能到12000字，所以把剩下的答案放在评论。

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在回答的最下方有图1至图4，那些图片是给下面的评论的。

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不明白的东西请评论。

Answer 1

[此回答可能含有一些高深的奥数知识，如果没学过奥数的用户千万不要胡乱投反对票或举报。]

我们先从小情况开始计算。

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我们先用3个 domino 来填满 32的长方形。

我们知道填满12 的长方形用一个12的domino有1种方法。（也就是Fibonanci 数列的第二个数，即F_2=1.)

填满22 的长方形用两个12的domino有2种方法。（也就是Fibonanci 数列的第三个数，即F_3=2.)

填满32 的长方形用一个12的domino有3种方法。（也就是Fibonanci 数列的第四个数，即F_4=3.)
 

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至于34的长方形用6个 domino来填满,

有以下三种情况：


1）用左右两个32的长方形拼出一个34长方形。
拼出其中一个32用12的长方形有3种方法。
那总共有33=9个方法来填满32的长方形。

2）用1个domino 来填补其中一个12的长方形，如下图：(画横线 ———的是12长方形填补的方法）(我在整个大长方形中间画的那条直线的意思是2个32的长方形评出来的34的长方形。情况2和3是情况1未考虑的方法。）

总共只有1个方法填补34的长方形。（如下图）

3）用2个domino来填补其中一个14的长方形，如下图：

总共只有1个方法来填补34的长方形。（如下图）

总共有33+12=11来填补34的长方形。
 

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至于36的长方形用9个 domino来填满的情况。

1）用左右一个34 的长方形和一个32 的长方形来拼出一个36长方形。
拼出其中一个用34的长方形有11种方法。
那总共有311=33个方法来填满36的长方形。

2）用1个domino 来填补其中一个12的长方形，如下图：

如下图，对于剩下的8个11的正方形。我们又有两个可能性。

（i）直的 1个12 domino，剩下的 3 2的长方形用 12 的domino 来填补 有 3 种方法。

（i i）横的2个 12 dominoes， 剩下的长方形只有1种填补方法。

3)用2个domino来填补其中一个14的长方形，如下图:

对于剩下的8个 11的正方形，和情况2一样，有4种填补方法。

总共有 311+（3+1）2=41 来填补 36的长方形。

图1:

图2:

图3:

图4:

Comments

至于 3✖️8的长方形用12 个 domino 来填满的情况。

1）用左右一个3✖️6 的长方形和一个3✖️2 的长方形来拼出一个3✖️8长方形。
拼出其中一个3✖️6的长方形有41种方法。
那总共有3✖️41=123个方法来填满3✖️8的长方形。

2）用1个domino 来填补其中一个1✖️2的长方形 （图1）

对于剩下的14个1✖️1的正方形。我们又有两个可能性。

（i）直的 1个 1✖️2 domino，剩下的3✖️4的长方形用1✖️2的 domino 来填补 有 11 种方法。
（图2）
（i i）横的 3个 1✖️2 domino，剩下的8个 1✖️1 的长方形，和之前的3✖️6的长方形的情况2和3 是一样的，即 3+1=4 种填补方法。

（图3）

3）用2个domino来填补其中一个1✖️4的长方形

（图4）

对于剩下的14个 1✖️1的正方形，和填补 3✖️8长方形情况2一样，有11+3+1=15种填补方法。

总共有 3✖️41+（11+3+1）✖️2=153 来填补 3✖️8的长方形。

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是谁按了举报？

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你好，你的回答不错，我已经帮你取消举报了。

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超级感谢你了，管理员。