Question

Prove that the sum of the first n odd positive integers is equal to n^2, for all positive integers n.

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这个是小学的 奥数 比赛题目

Answer 1

https://youtu.be/K7Y7qWSfqGY

可以拿这个证明

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1+3+5+7+9...+(2n-1) = n²

n = 1,2,3,4

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解释：

为什么放1+3+5+7+9...+(2n-1)

1,3,5,7,9...题目说odd positive integers(奇数)

.

(2n-1) 是1,3,5,7,9...的来源，意思是

n=1,2,3

n=1      (2[1]-1)=1

n=2      (2[2]-1)=3

n=3      (2[3]-1)=5

.
为什么我会排成顺序，因为题目要sum of the first n (总和) 单位是Sn

 S = Sum     n=Term     S_n = Sum of the term 

例子：S₅ = 1+2+3+4+5

例子：S₇ = 1+2+3+4+5+6+7

意思是全部加起来

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开始证明：

If n=1        S_n : 1 = 1²       

(2n - 1) = n²

(2[1] - 1) = 1²

1 = 1²                             合理

{补充：1² = 1}

.

把 n换成 k (n=k)   

1+3+5+7+9...(2k-1) = k²        合理

.

If n=k+1   请证明 S_k+1 是合理

1+3+5+7+9...+(2k-1) = n²

1+3+5+7+9...+(2k-1)+(2[k+1]-1) = [k-1]²

k² + 2k +1 = [k+1]²            合理

合理，因为

k² + 2k + 1 = (k+1)(k+1)

k² + 2k +1 = k² + 2k +1

两边一样，合理

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解释：

k² 来自 1+3+5+7+9...(2k-1)

因为 1+3+5+7+9...(2k-1)我在上面证明了是n² ，变 k² 是因为n=k

.

(2[k+1]-1) = 2k +1   你可以算出来

原本是(2n -1)，n=k 所以变成(2k-1)。我要证明 k+1 是合理所以把 k+1 放进(2k-1)

. 

为什么(2[k-1]-1)会加进去在1+3+5+7+9...+(2k-1)+(2[k-1]-1)= [k+1]²

因为(2[K-1]-1)加进去是要证明(k+1)²合理